本书是在高等教育大众化和办学层次多样化的新形势下，结合工科本科高等数学的教学基本要求，在独立学院多年教学经验的基础上编写而成.
全书分为上、下两册. 上册内容包括函数的极限与连续、一元函数微分学及应用、一元函数积分学及应用、微分方程. 下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数. 每节之后配有习题，每章之后配有总习题. 全书尽量从工程实例引入概念，削枝强干、分散难点，力求逻辑清晰、通俗易懂.
本书可供独立学院工科各专业学生使用，也可供广大教师、工程技术人员参考.
本书分为上、下两册. 上册内容包括函数的极限与连续、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、微分方程. 下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分及其应用、曲线积分与曲面积分、无穷级数. 每节之后配有习题，每章之后配有总习题.
本书在编写上尽量体现以下几个特点.
(1) 从独立学院工科类专业学生的基础出发，适度弱化一些纯数学理论及一些有难度的定理的证明，而代之以直观和形象的例子说明。
(2) 结合独立学院工科类专业学生的实际需要，在编写过程中尽量削枝强干、分散难点,力求结构合理、逻辑清晰、通俗易懂。
(3) 侧重于培养学生的应用意识与应用能力，介绍了一些工程背景和应用性实例，期望能够提高学生学习数学的兴趣，在例题与习题选编上，侧重于应用.
前 言
数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要工程技术发展的基础. 数学素质是培养高层次创新人才的重要基础. 高等数学学习是大学生数学素质培养的基础阶段，对不同层次的人才培养，教材建设起到了举足轻重的作用.
随着我国高等教育大众化和办学层次及形式的多样化，因材施教是当前教学改革和课程建设的重要内容之一. 本书是在这样的形势下，根据国家质量工程全面提高本科生素质教育的指导思想，结合工科本科高等数学的教学基本要求，在独立学院多年教学经验的基础上编写而成. 近年来的教学实践与研究表明，独立学院的数学教学必须与独立学院的人才培养层次与模式紧密联系. 因而，本书的编写不仅强调有利于学生掌握高等数学的基本概念、基本方法与基本技巧，而且强调培养学生利用数学工具分析和解决工程实际问题的能力.
本书分为上、下两册. 上册内容包括函数的极限与连续、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、微分方程. 下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分及其应用、曲线积分与曲面积分、无穷级数. 每节之后配有习题，每章之后配有总习题.
本书在编写上尽量体现以下几个特点.
(1) 从独立学院工科类专业学生的基础出发，适度弱化一些纯数学理论及一些有难度的定理的证明，而代之以直观和形象的例子说明。
(2) 结合独立学院工科类专业学生的实际需要，在编写过程中尽量削枝强干、分散难点,力求结构合理、逻辑清晰、通俗易懂。
(3) 侧重于培养学生的应用意识与应用能力，介绍了一些工程背景和应用性实例，期望能够提高学生学习数学的兴趣，在例题与习题选编上，侧重于应用.
本书由吕陇任主编，李建生、郭中凯、蒙頔、任秋艳、马燕任副主编。具体分工如下：第11、12章由吕陇编写，第2、8章由李建生编写，第4、5章由郭中凯编写，第9、10章由蒙頔编写，第3、7章由任秋艳编写，第1、6章由马燕编写. 全书由吕陇统稿. 本书的编写得到了兰州理工大学技术工程学院的支持与多方帮助，在此表示衷心的感谢.
由于编者水平所限，书中尚有不妥及错误之处，恳请同行和读者批评指正.
编 者
目 录
第8章 向量代数与空间解析几何 1
8.1 向量及其线性运算 1
8.1.1 空间直角坐标系 1
8.1.2 空间两点间的距离 2
8.1.3 向量及其表示 3
8.1.4 向量的线性运算 3
8.1.5 向量的分解与向量的坐标 5
8.1.6 向量的模与方向余弦的坐标表示 6
8.1.7 向量线性运算的坐标表示 7
习题 7
8.2 向量的乘积运算 8
8.2.1 向量的数量积 8
8.2.2 向量的向量积 10
习题 12
8.3 空间平面及其方程 13
8.3.1 平面的点法式方程 13
8.3.2 平面的一般式方程 14
8.3.3 两平面的夹角 16
8.3.4 点到平面的距离 16
习题 17
8.4 直线及其方程 17
8.4.1 直线的点向式方程 17
8.4.2 直线的参数方程 18
8.4.3 空间直线的一般式方程 19
8.4.4 两直线的夹角 20
8.4.5 直线与平面的夹角 21
习题 22
8.5 曲面与曲线 23
8.5.1 曲面及其方程 23
8.5.2 常见的曲面及其方程 24
8.5.3 空间曲线及其在坐标面上的投影 29
习题 30
总习题 31
第9章 多元函数微分学 33
9.1 多元函数的极限与连续性 33
9.1.1 二元函数的概念 33
9.1.2 二元函数的极限与连续性 35
习题 37
9.2 偏导数 37
9.2.1 偏导数的概念 37
9.2.2 偏导数的几何意义 38
9.2.3 高阶偏导数 40
习题 41
9.3 复合函数的微分法 42
习题 44
9.4 隐函数求导公式 45
习题 47
9.5 全微分及其应用 47
9.5.1 全微分的定义 48
9.5.2 全微分形式不变性 49
9.5.3 全微分在近似计算中的应用 50
习题 51
9.6 多元函数微分学的几何应用 51
9.6.1 空间曲线的切线及法平面 51
9.6.2 曲面的切平面与法线 52
习题 54
9.7 多元函数的极值问题 54
9.7.1 二元函数的极值 54
9.7.2 多元函数的最大值与最小值 56
9.7.3 条件极值及最小二乘法 58
习题 61
*9.8 方向导数与梯度 61
9.8.1 方向导数 61
9.8.2 梯度 63
习题 64
总习题 65
第10章 重积分 67
10.1 二重积分的概念及性质 67
10.1.1 二重积分的概念 67
10.1.2 二重积分的性质 69
习题 70
10.2 二重积分的计算 71
10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 71
10.2.2 极坐标系下二重积分的计算 75
习题 78
10.3 三重积分 79
10.3.1 三重积分的概念 79
10.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算 80
10.3.3 柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 82
习题 85
10.4 重积分的应用 86
10.4.1 立体体积和平面图形的面积 86
10.4.2 曲面面积 87
10.4.3 平面薄片的重心 89
10.4.4 平面薄片的转动惯量 90
习题 90
总习题 91
第11章 曲线积分与曲面积分 93
11.1 第一类曲线积分 93
11.1.1 第一类曲线积分的定义与性质 93
11.1.2 第一类曲线积分的计算法 95
习题 97
11.2 第二类曲线积分 97
11.2.1 第二类曲线积分的定义与性质 97
11.2.2 第二类曲线积分的计算法 99
11.2.3 两类曲线积分之间的联系 102
习题 102
11.3 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件 103
11.3.1 格林公式 103
11.3.2 平面曲线积分与路线无关的条件 106
11.3.3 二元函数全微分求积 107
习题 108
11.4 第一类曲面积分 109
11.4.1 第一类曲面积分的定义 109
11.4.2 第一类曲面积分的计算 110
习题 112
11.5 第二类曲面积分 112
11.5.1 曲面的侧 112
11.5.2 第二类曲面积分的定义 113
11.5.3 第二类曲面积分的计算 115
习题 118
11.6 高斯公式与斯托克斯公式 119
11.6.1 高斯公式 119
11.6.2 高斯公式简单的应用 120
11.6.3 斯托克斯(Stokes)公式 120
11.6.4 场论初步 122
11.6.5 向量场的通量与散度 122
11.6.6 向量场的环量与旋度 126
习题 129
总习题 130
第12章 无穷级数 131
12.1 常数项级数的概念及性质 131
12.1.1 常数项级数的概念 131
12.1.2 常数项级数的性质 133
习题 135
12.2 常数项级数审敛法 135
12.2.1 正项级数及其审敛法 135
12.2.2 交错级数及其审敛法 138
12.2.3 任意项级数及其审敛法 139
习题 140
12.3 幂级数 140
12.3.1 函数项级数的概念 140
12.3.2 幂级数及其收敛性 141
12.3.3 幂级数的运算 145
习题 147
12.4 函数展开成幂级数 147
12.4.1 泰勒级数 147
12.4.2 函数展开成幂级数 148
12.4.3 幂级数展开式的应用 151
习题 154
12.5 傅里叶级数 155
12.5.1 以22为周期的函数展开成傅里叶级数 155
12.5.2 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 160
习题 161
总习题 161
参考文献 162
第8章 向量代数与空间解析几何
本章的核心内容是空间解析几何，即用代数方法研究空间几何图形，它是平面解析几何的推广，为学习多元函数微积分学奠定了基础. 而向量代数作为研究空间解析几何的工具，在物理学、力学及工程技术上具有广泛的应用.
8.1 向量及其线性运算
8.1.1 空间直角坐标系
问题 圆是平面图形，在平面直角坐标系中，其方程可表示为，而球面是空间图形，那么怎样用代数的方法表达其方程呢? 首先需要建立空间直角坐标系，进而建立空间点与有序数组之间的对应关系.
过空间一个定点，作三条互相垂直的数轴，它们都以点为原点，且具有相同的单位长度，这三条数轴分别称为轴(横轴)、轴(纵轴)和轴(竖轴)，统称为坐标轴．坐标轴的正向要符合右手法则：即伸开右手，让并拢的四指与大拇指垂直，并使四指先指向轴的正向，然后让四指沿握拳的方向旋转90°指向轴的正向，此时大拇指的指向即为轴的正向(见图8.1.1)．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系(一般将轴和轴放置在水平面上)，点叫作坐标原点或原点．
在空间直角坐标系中，每两条坐标轴可以确定一个平面，称为坐标面．其中轴与轴确定的平面叫作坐标面，类似地有坐标面、坐标面．三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限称为第Ⅰ卦限．在坐标面的上方按逆时针方向依次为第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限．在坐标面的下方，与第Ⅰ卦限对应的是第Ⅴ卦限，其余第Ⅵ卦限至第Ⅷ卦限仍按逆时针方向顺次确定(见图8.1.2).
图8.1.1 图8.1.2
通过空间角坐标系，我们可以建立空间点与有序数组之间的对应关系．
设为空间一点，过点分别作垂直于轴、轴与轴的平面，它们与轴、轴和轴分别交于点、和(见图8.1.3)．设这三个点在三个坐标轴上的坐标分别为、和，于是点就确定了唯一的一个有序数组；反过来，对于给定的有序数组，可分别在轴、轴与轴上找到点、和，使其坐标分别为、和；过点，和分别作垂直于轴、轴与轴的平面，这三个平面必相交于空间唯一一点．这样就建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系．将有序数组称为点的坐标，记作．、和依次称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．
按照点的坐标的规定，位于坐标轴和坐标面上的点，其坐标各有一定的特征．在轴、轴及轴上的点的坐标分别是(, 0, 0)，(0, , 0)，(0, 0, )；在坐标面、坐标面及坐标面上的点的坐标分别是(,, 0) ，(0, , )，(, 0, )，原点的坐标是(0, 0, 0)．
8.1.2 空间两点间的距离
设,为空间两点，则这两点之间的距离为
证明 过点、各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，则这六个平面围成一个以、为对角线的长方体(见图8.1.4)．由于和均为直角三角形，所以
==+
=++．
由于=，，，所以
．
特殊地，点与坐标原点的距离为
．
例8.1.1 已知点M(a, b, b)，P(9, 0, 0)，Q(-1, 0, 0)，且三点满足| MP |2 = | MQ |2 = 33，试确定a，b的值．
解 由题意，有| MP |2 = | MQ |2，即(9 - a)2 + 2b2 = (-1- a)2 + 2b2，解得a = 4．
又因为| MP |2 = 33，即(9 - 4)2 + 2b2 = 33，解得b ==2．
8.1.3 向量及其表示
在物理学及其他学科领域，我们常见到两类量：一类只有大小没有方向，因此用一个数字就完全可以表示的量，如温度、长度、质量等，这类量称为数量或标量；还有一类量，它们既有大小又有方向，如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量．
在印刷体中，一般用黑斜体字母表示向量，如a，b，i，F等．有时为了书写方便也用字母上方加箭头的方法表示向量，如，，，等．几何上，常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向表示向量的方向，如起点为A、终点为B的向量记为，如图8.1.5所示．
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