本书按照“讲清道理，再讲推理”的模式编写，系统、连贯地介绍了行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩 阵的相似二次型、向量空间与线性变换等内容。考虑到不同学时不同层次的教学需要，书中第7章为选学内容，不会影响教材的系统性。在例题、习题选取方面，本 书遵循少而精、难易适度的原则，每章均配有典型例题和习题，书后附有参考答案与提示，并精心设计了“问题与探究”栏目。
《线性代数》注重化解抽象理论的难度，易教易学，可读性强，适合一般本科院校理工类、经管类专业使用。
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李桂贞编著的《线性代数(普通高等教育十二五规划教材)》系统、连贯地介绍了行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似二次型、向量空间与线性变换等内容。本书注重化解抽象理论的难度，易教易学，可读性强，适合一般本科院校理工类、经管类专业使用。
目录CONTENTS
前言
第1章 行列式
1.1 行列式的定义 2
1.2 行列式的性质 8
1.3 行列式的展开 13
1.4 拉普拉斯定理 20
1.5 克拉默法则 21
习题1 24
问题与探究 27
第2章 矩阵
2.1 矩阵及其运算 29
2.2 可逆矩阵 37
2.3 矩阵的初等变换 41
2.4 矩阵的秩 46
2.5 分块矩阵 49
习题2 54
问题与探究 56
第3章 向量
3.1 向量的定义及其运算 58
3.2 向量组的线性相关性 60
3.3 极大线性无关组 68
习题3 73
问题与探究 74
第4章 线性方程组
4.1 线性方程组的表达 76
4.2 线性方程组的解法 80
4.3 线性方程组解的结构 84
习题4 89
问题与探究 90
第5章 矩阵的相似
5.1 矩阵的特征值与特征向量 92
5.2 相似矩阵 96
5.3 矩阵的对角化 101
习题5 106
问题与探究 107
第6章 二次型 191
6.1 二次型的表达 110
6.2 二次型的标准形 113
6.3 正定二次型 118
习题6 120
问题与探究 120
第7章 向量空间与线性变换
7.1 向量空间的定义与性质 122
7.2 向量空间的基、维数和坐标 124
7.3 过渡矩阵 126
7.4 线性变换的定义与性质 127
7.5 线性变换的矩阵 129
习题7 131
问题与探究 132
参考答案与提示 133
参考文献 147
附录 历年硕士研究生入学考试高等数学试题线性代数部分节选 148
1.1 行列式的定义
一、排列与逆序
定义1.1.1 由自然数1，2，3，…，n组成的有序数组j1j2…jn称为一个n阶列．例如，3214是一个四阶排列，645213是一个六阶排列．由1，2，3，4可组成4！＝24个不同的四阶排列．1，2，3，…，n可组成n！个不同的n阶排列．按数字的自然顺序由小到大的n阶排列123…n称为标准排列．
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，称这两个数构成一个逆序．一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为τ（j1j2…jn）．
逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数的排列称为偶排列．
例1.1.1 求排列362514与n（n-1）…321的逆序数．
解 排列362514中，3在1和2前面，6在1，2，4和5前面，2在1前面，5在1和4前面，共有9个逆序，即τ（362514）＝2+4+1+2+0+0＝9，为奇排列；τ（n（n-1）…321）＝（n-1）+（n-2）+…+2+1+0＝n（n-1）2，当n等于4k和4k+1时为偶排列，当n等于4k+2和4k+3时为奇排列．
把一个排列中的两个数的位置互换，其余的数不动，就得到一个新的排列，这样的变换称为排列的一个对换．
例如，将362514中的6和1对换，得到新的排列312564，它的逆序数τ（312564）＝4，为偶排列．可见，经过一次对换后，排列的奇偶性发生了改变．
定理1.1.1 每一个对换都改变排列的奇偶性．
证 分两种情况讨论．
（1）相邻两个数对换的情况．
设排列为AijB，（1.1）经过i与j的对换变为排列AjiB，（1.2）其中A，B表示除i，j两个数外的其余数．比较排列（1.1）与排列（1.2）中的逆序，A，B中数的次序没有改变，i，j与A，B中数的次序也没有改变，仅仅改变了i与j的次序，因此排列（1.2）仅比排列（1.1）增加了一个逆序（当i＜j时），或减少了一个逆序（当i＞j时），所以它们的奇偶性相反．
（2）一般对换的情况．
设排列为Aik1k2…ksjB，（1.3）经过i与j的对换变为排列Ajk1k2…ksiB，（1.4）将排列（1.3）中数i依次与k1，k2，…，ks，j作s+1次相邻对换，变为Ak1k2…ksjiB，
再将排列（1.5）中的j依次与ks，ks-1，…，k1作s次相邻对换，得到排列（1.4），即排列（1.4）可由排列（1.3）经过2s+1次相邻对换得到．由情况（1）可知，它改变了奇数次奇偶性，所以排列（1.4）与排列（1.3）的奇偶性相反．
推论1.1.1 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．
二、二阶与三阶行列式
设二元线性方程组为
a11x1+a12x2＝b1，
a21x1+a22x2＝b2．（1.6）
用消元法解此方程组，得
（a11a22-a12a21）x1＝b1a22-a12b2， （a11a22-a12a21）x2＝a11b2-b1a21．
当a11a22-a12a21≠0时，方程组（1.6）有唯一解
x1＝b1a22-a12b2
a11a22-a12a21，
x2＝a11b2-b1a21
a11a22-a12a21．（1.7）
为了便于记忆，引入记号
D＝a11a12
a21a22， 并规定a11a12，a21a22＝a11a22-a12a21．（1.8）称D为二阶行列式．D中横写的称为行，竖写的称为列．数aij（i＝1，2；j＝1，2）称为行列式D的元素．元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。
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